for Mariana

Füllung eines Schwimmbads

LS Kursstufe 12 S. 213 Nr 17
Gegeben:
Rohre: 1, 2 und 3
Füllzeit mit Rohren 1 und 2 : 45 min
Füllzeit mit Rohren 1 und 3 : 60 min
Füllzeit mit Rohren 2 und 3 : 90 min
x1, x2 und x3 seien die Durchflussmengen pro Minute für Rohre 1, 2 und 3
Die Einheit könnte z.B. Liter/Minute oder m³/min sein.
Spielt aber hier keine Rolle, da wir ja auch das Volumen V des Schwimmbeckens nicht kennen.

Für die Füllung über die Rohre 1 und 2 gilt:
V (Volumen des vollen Schwimmbads) = Durchflussmenge Rohr 1/ min * 45 min + Durchflussmenge Rohr 2 / min * 45 min

also kurz gefasst:
X1 * 45 + X2 * 45 = V ("Schwimmbad voll") (Gleichung 1)
entsprechend für die anderen Kombinationen:
X1 * 60 + X3 * 60 = V (Gleichung 2)
X2 *90 + X3 * 90 = V (Gleichung 3)

Da für alle drei Bedingungen V überall gleich ist, können wir V eliminieren mit
Gleichung 1 = Gleichung 2
Gleichung 2 = Gleichung 3
Gleichung 1 = Gleichung 3

dies führt zu dem linearen Gleichungssystem
45 X1 + 45 X2 = 60 X1 + 60 X3
45 X1 + 45 X2 = 90 X2 + 90 X3
60 X1 + 60 X3 = 90 X2 + 90 X3

umgestellt:
-15 X1 + 45 X2 - 60 X3 =0
45 X1 - 45 X2 - 90 X3 =0
60 X1 - 90 X2 - 30 X3 = 0

oder als Matrix:
-15 45 -60 0
45 -45 -90 0
60 -90 -30 0

Lösung mit GTR:
X1 = 5; X2 = 3; X3 = 1
d.h. durch Rohr 1 fließt 5 mal soviel wie durch Rohr 3.

Füllzeit bei Benützung aller 3 Rohre:
X1 * t + X2 *t + X3 *t = V = X1 * 45 + X2 * 45
t ( 5 + 3 + 1) = 360
t = 40 min

Füllzeiten mit jedem Rohr einzeln:
Rohr 1..... aus 5 * t = 360 folgt t= 72 min
Rohr 2.....aus 3 * t = 360 folgt t = 120 min
Rohr 3......................... t = 360 min